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《五經算術》

作者:甄鸞  分类:数学书籍 朝代:北周
最后更新时间:2016-12-21 08:58:14

《五經算術》介绍

五經算術

《五經算術》,二卷。南北朝北周甄鸞撰。唐時列爲國子監算學諸生必讀的「十部算經」之一,有唐李淳風的注文一併傳世。通行本有:清《四庫全書》本、《微波榭算經十書》本、《武英殿聚珍版叢書》本、近代《叢書集成》本、一九六三年中華書局版錢寶琮校點《算經十書》本等。

《五經算術》是甄鸞對《尚書》、《周易》、《詩經》、《周官》、《禮記》、《論語》等典籍中有關數學知識的原文加以詳細解釋的數學著作。全書共四十一條數學解釋,其中卷上十六條,是爲:尚書定閏法,推日月合宿法,求一年定閏法,求十九年七閏法,尚書孝經兆民注數越次法,詩伐檀毛鄭注不同法,詩豐年毛注數越次法,周易策數法,論語千乘之國法,周官車蓋法,儀禮喪服絰帶法,喪服制食米溢數法,禮記王制國及地法,求經云古者百里當今一百二十一里六十步四尺二寸二分法,求鄭氏注云古者百畝當今一百五十六畝二十五步依鄭計之法,求鄭注云古者百里當今一百二十五里法;卷下二十五條,是爲:禮記月令黄鐘律管法,禮記禮運注始於黄鐘終於南吕法,禮運一本注始於黄鐘終於南事法,漢書終于南事算之法,禮記投壺法,推春秋魯僖公二年正月辛亥朔法,推積日法,求次月朔法,推僖公五年正月辛亥朔旦冬至法,求次氣法,推文公元年歲在乙未閏當在十月下而失在三月法,推閏餘十三在何月法,推文公六年歲在庚子是歲無閏而置閏法,推襄公二十七年歲在乙卯再失閏法,推絳縣老人生經四百四十五甲子法,推文公十一年歲在乙巳夏正月甲子朔絳縣老人生月法,推積日法,推昭公十九年閏十二月後而以閏月爲正月故以正月爲二月法,推積日法,推昭公十九年歲在戊寅閏在十二月下法,推昭公十九年歲在戊寅月朔法,推昭公二十年歲在己卯月朔法,推昭公二十年歲在己卯正月己丑朔旦冬至而失云閏二月己丑冬至法,推哀公十二年歲在戊午應置閏而不置故書十二月有螽法,求十二年閏月法。其所涉及的數學内容,如勾股定理、開平方等。基本上都没有超出《九章算術》的水平。

《五經算術》雖然在數學上没有什麼創造性的貢獻,但因其對閲讀和理解古代典籍頗有幫助,故得以於唐后列爲官學的必讀教材而流傳後世。清《四庫全書總目提要》評價說:「是書不特爲算家所不廢,實足以發明經史,核訂疑義,於考證之學,尤爲有功焉。」

《五經算術》正文

卷上

《尚書》定閏法:

“帝曰:咨汝羲暨和,期三百有六旬六日。以閏月定四時成歲。”孔氏注云:“咨,嗟;暨,與也。匝四時曰期。一歲十二月,月三十日,正三百六十日。除小月六為六日,是為一歲。有餘十二日,未盈三歲足得一月,則置閏焉。以定四時之氣節,成一歲之曆象。”

甄鸞按:一歲之閏惟有十日九百四十分日之八百二十七。而云餘十二日者,理則不然。何者?十九年七閏,今古之通軌。以十九年整得七閏,更無餘分。故以十九年為一章。今若一年有餘十二日,則十九年二百二十八日。若七月皆小,則賸二十五日;若七月皆大,猶餘十八日。先推日月合宿,以定一年之閏,則十九年七閏可知。

推日月合宿法:

置周天三百六十五度於上,四分度之一於下‧又置月行十三度十九分度之七。除其日一度,餘十二度。以月分母十九乘十二度,積二百二十八;內子七得二百三十五為章月。以度分母四乘章月得九百四十日為法。又以四分乘度三百六十五,內子一,得一千四百六十一。乃以月行分母十九乘之,得二萬七千七百五十九為周天分。以日法九百四十除之,得二十九日,不盡四百九十九。即是一月二十九日九百四十分日之四百九十九。與日合宿也。

求一年定閏法:

置一年十二月。以二十九日乘之,得三百四十八日。又置十二月,以日分子四百九十九乘之,得五千九百八十八。以日法九百四十除之,得六日。從上三百四十八日,得三百五十四日,餘三百四十八。以三百五十四減周天三百六十五度,不盡十一日。又以餘分三百四十八減章月二百三十五。而章月少,不足減。上減一日,下加法九百四十分,得一千一百七十五。以實餘三百四十八乃減下法,餘八百二十七。是為一歲定閏十日九百四十分日之八百二十七。

求十九年七閏法:

置一年閏十日,以十九年乘之得一百九十日。又以八百二十七分,以十九年乘之得一萬五千七百一十三。以日法九百四十除之,得十六日,餘六百七十三。以十六加上日,得二百六日。以二十九除之,得七月,餘三日。以法九百四十乘之,得二千八百二十。以前分六百七十三加之,得三千四百九十三。以四百九十九命七月分之,適盡。是謂十九年得七閏月,月各二十九日九百四十分日之四百九十九。

《尚書》、《孝經》“兆民”注數越次法:

“天子曰兆民,諸侯曰萬民。”甄鸞按:呂刑云:“一人有慶,兆民賴之”注云:“億萬曰兆。天子曰兆民,諸侯曰萬民。”又按周官:乃經土地而井,牧其田野。九夫為井,四井為邑,四邑為邱,四邱為甸,四甸為縣,四縣為都。以任地事而令貢賦。凡稅斂之事,所以必共井者,存亡更守,入出相同,嫁娶相媒,有無相貸,疾病相憂,緩急相救,以所有易以所無也。兆民者,王畿方千里,自乘得兆井。王畿者,因井田立法,故曰兆民。若言兆井之民也。如以九州地方千里者九言之,則是九兆,其數不越於兆也。諸侯曰萬民者,公地方百里,自乘得一萬井。故曰萬民。所以言侯者,諸侯之通稱也。

按注云:“億萬曰兆”者,理或未盡。何者?按黃帝為法,數有十等。及其用也,乃有三焉。十等者,謂億、兆、京、垓、秭、壤、溝、澗、正、載也。三等者,謂上、中、下也。其下數者,十十變之。若言十萬曰億,十億曰兆,十兆曰京也。中數者,萬萬變之。若言萬萬曰億,萬萬億曰兆,萬萬兆曰京也。上數者,數窮則變。若言萬萬曰億,億億曰兆、兆兆曰京也。若以下數言之,則十億曰兆;若以中數言之,則萬萬億曰兆;若以上數言之,則億億曰兆。注乃云“億萬曰兆”者,正是萬億也。若從中數,其次則需有十萬億、次百萬億、次千萬億、次萬萬億曰兆。三數並違,有所未詳。按尚書無此注,故從孝經注釋之。

《詩》伐檀毛、鄭注不同法:

“不稼不穡,胡取禾三百億兮;不狩不獵,胡瞻爾庭,有縣特兮。”注云:“萬萬曰億。獸三歲曰特。”箋云:“十萬曰億。三百億,禾秉之數也。”

甄鸞按:黃帝為法,數有十等。及其用也,乃有三焉。十等者,謂億、兆、京、垓、秭、壤、溝、澗、正、載。三等者,謂上、中、下也。其下數者,十十變之。若言十萬曰億,十億曰兆,十兆曰京也。中數者,萬萬變之。若言萬萬曰億,萬萬億曰兆,萬萬兆曰京也。上數者,數窮則變。若言萬萬曰億,億億曰兆、兆兆曰京也。據此而言,鄭用下數,毛用中數矣。

《詩》豐年毛注數越次法:

“豐年多黍多稌,亦有高廩,萬億及秭。”毛注云:“豐,大;稌,稻。廩所以藏齋盛之穗。數萬至萬曰億;數億至億曰秭。”箋云:“豐年,大有之年。萬億及秭,以言穀數多也。”

甄鸞按:毛注云數萬至萬曰億者,此即中數,萬萬曰億也。又云數億至億曰秭者,或有可疑。何者?按黃帝數術云:中數者,萬萬曰億,萬萬億曰兆,萬萬兆曰京,萬萬京曰垓,萬萬垓曰秭。此應云數億至垓曰秭,而言數億至億曰秭者,有所未詳。

《周易》策數法:

“天地之數五十有五,此所以成變化而行鬼神也。乾之策二百一十有六;坤之策百四十有四。凡三百有六十,當期之日。二篇之策,萬有一千五百二十,當萬物之數也。是故四營而成易,十有八變而成卦;八卦而小成。引而申之,觸類而長之,天下之能事畢矣。”

甄鸞按:天以一生水,地以二生火,天以三生木,地以四生金,天以五生土。天數奇,二十五;地數耦,三十。并天地之數,合五十五,謂之大衍之數。揲蓍得乾者,三十六策然後得九一爻。爻有三十六策。合二百一十六。揲蓍得坤者,二十四策然後得六一爻。爻有二十四策。合一百四十四。并乾坤之策,三百六十。當一期之日者,舉全數也。上、下經有六十四卦,卦有六爻,合三百八十四爻。陰陽各半,陽爻稱九,陰爻稱六。九、六各百九十二也。陽爻以三十六策乘之,得六千九百一十二;陰爻以二十四乘之,得四千六百八。并陰陽之策,合得一萬一千五百二十也。四營者,仰象天,俯法地,近取諸身,遠取諸物也。十八變者,三變而成爻,十八變而六爻也。八卦而小成者,言雖成易,猶未備也。

《論語》“千乘之國”法:

“子曰:‘導千乘之國。…’”注云:“司馬法:六尺為步,步百為畝,畝百為夫,夫三為屋,屋三為井,井十為通,通十為成,成出革車一乘。然則千乘之賦,其地千成也。”今有千乘之國,其地千成,計積九十億步。問為方幾何?

答曰:三百一十六里六十八步一十八萬九千七百三十七分步之六萬二千五百七十六。

術曰:置積步為實,開方除之即得。

按千乘之國,其地千成。方十里,置一乘地十里,以三百步乘之,得三千步。重張相乘,得九百萬步。又以千成乘之,得積九十億步。以開方除之,即得方數。

開方法曰:借一算為下法。步之常超一位,至萬而止。置上商九萬於實之上。又置九億於實之下,下法之上,名曰方法。命上商九萬以除實畢。倍方法九億得十八億。乃折之:方法一折,下法再折。又置上商四千於上,以次前商之後。又置四百萬於方法之下,下法之上,名曰隅法。方、隅皆命上商四千以除實畢。倍隅法得八百萬。上從方法,得一億八千八百萬。乃折之:方法一折,下法再折。又置上商八百於上,以次前商之後。又置八萬於方法之下,下法之上,名曰隅法。方、隅皆命上商八百以除實畢。倍隅法得十六萬。上從方法,得一千八百九十六萬。乃折之:方法一折,下法再折。又置上商六十於上,以次前商之後。又置上商六十於上,以次前商之後。又置六百於方法之下,下法之上,名曰隅法。方、隅皆命上商六十以除實畢。倍隅法得一千二百。上從方法,得一百八十九萬七千二百。乃折之:方法一折,下法再折。又置上商八於上,以次前商之後。又置八於方法之下,下法之上,名曰隅法。方、隅皆命上商八以除實畢。倍隅法得一十六。上從方法,下法一亦從之,得一十八萬九千七百三十七分步之六萬二千五百七十六。以里法三百步除之,得三百一十六里。不盡六十八步。即得三百一十六里六十八步一十八萬九千七百三十七分步之六萬二千五百七十六也。

周官車蓋法:

“參分弓長,以其一為尊。”注云:“尊,高也。六尺之弓,上部近平者二尺。爪末下於部二尺。二尺為句,四尺為弦,求其股。股十二。開方除之,面三尺幾半。”

甄鸞按:句股之法,橫者為句,直者為股,斜者為弦。若句三,則股四而弦五。此自然之率也。今此車蓋,句二弦四則股三,此亦自然之率矣。求之法,句、股各自乘,并而開方除之,即弦也。股自乘,以減弦自乘,其餘開方除之,即句也。句自乘,以減弦自乘,其餘開方除之,即股也。假令句三自乘得九,股四自乘得十六,并之得二十五,開方除之得五,弦也。股四自乘得十六;弦五自乘得二十五,以十六減之,餘九。開方除之得三,句也。句三自乘得九,弦五自乘得二十五,以九減之,餘十六。開方除之得四,股也。今車蓋崇二尺,弓四尺。以崇下二尺為句,弓四尺為弦,為之求股。求股之法,句二尺自乘得四,弦四尺自乘得十六。以四減十六,餘十二。開方除之,得三,即股三尺也也。餘三,倍方法得六;又以下法一從之得七。即股三尺七分尺之三。故曰幾半也。

《儀禮》喪服絰帶法:

“苴絰大搹,左本在下。去五分一以為帶。齊衰之絰,斬衰之帶也,去五分一以為帶。大功之絰,齊衰之帶也,去五分一以為帶。小功之絰,大功之帶也,去五分一以為帶。緦麻之絰,小功之帶也,去五分一以為帶。”注云:“盈手曰搹。搹,扼也。中人之扼圍九寸。以五分一為殺者,象五服之數。”今有五服衰絰,迭相差五分之一。其斬衰之絰九寸,問齊衰、大功、小功、緦麻絰各幾何?

答曰:齊衰七寸五分寸之一、大功五寸二十五分寸之十九、小功四寸一百二十五分寸之七十六、緦麻三寸六百二十五分寸之四百二十九。

甄鸞按:五分減一者,以四乘之,以五除之。置斬衰之絰九寸,以四乘之得三十六為絰實;以五除之得齊衰之絰七寸五分寸之一。以母五乘七寸得三十五;內子一得三十六。以四乘之得一百四十四為實。以五乘下母五得二十五為法。除之得大功絰五寸二十五分寸之十九。以母二十五乘五寸得一百二十五,內子十九,得一百四十四。以四乘之得五百七十六為實。以五乘下母二十五得一百二十五為法。以除之,得小功絰四寸一百二十五分寸之七十六。以母一百二十五乘絰四寸,得五百。內子七十六,得五百七十六,又以四乘之得二千三百四為實。以五乘下母一百二十五得六百二十五為法。以除之,得緦麻之絰三寸六百二十五分寸之四百二十九。

喪服制食米溢數法:

“朝一溢米,夕一溢米。”注云:“二十兩曰溢,一溢為米一升二十四分升之一。”

甄鸞按:一溢為米一升二十四分升之一法:置一斛米,重一百二十斤。以十六乘之,為積一千九百二十兩。以溢法二十兩除之,得九十六溢為法。以米一斛百升為實。實如法得一升。不盡四升,與法具再半之,名曰二十四分升之一。稱法:三十斤曰鈞,四鈞曰石。石有一百二十斤也。所以名斛為石者,以其一斛米重一百二十斤故也。

《禮記》王制國及地法:

凡四海之內有九州。大界方三千里。三三而九,計方一千里者有九也。今為里田之法,方一千里為廣一里,則長一百萬里也。分方一千里為畿內,餘為八州。州各得方一千里。各以方里自乘為積里。諸國皆倣方一百里國三十。一國萬里,三十國合三十萬里。方七十里國六十。一國四千九百里,六十國合二十九萬四千里。方五十里國一百二十。一國二千五百里,一百二十國合三十萬里。上法一州有二百一十國,合地八十九萬四千里。以減一州之地大數一百萬里,餘一十萬六千里為閒田。此據一州而言。若八州則地七百一十五萬二千里,以減八州八百萬里,餘八十四萬八千里為閒田。

畿內方百里國九。一國萬里,九國合九萬里。方七十里國二十一。一國四千九百里,二十一國合十萬二千九百里。方五十里國六十三。一國二千五百里,六十三國合十五萬七千五百里。上法畿內有九十三國,計地三十五萬四百里。以減一百萬里,餘六十四萬九千六百里為閒田。以八州之地七百一十五萬二千里,并畿內三十五萬四百里,九州之國合地七百五十萬二千四百里。以減九州之地大數九百萬里,餘一百四十九萬七千六百里為閒田。此商制也。

鄭注云:“周公制禮,九州大界方七千里。七七四十九,即四千九百萬里。計方一千里者,四十九也。”分方千里為畿內,餘為八州。州各得一千里者六。一州合地六百萬里。方五百里國四。一國二十五萬里,四國合一百萬里。方四百里國六。一國十六萬里,六國合九十六萬里。方三百里國十一。一國九萬里,十一國合九十九萬里。方二百里國二十五。一國四萬里,二十五國合一百萬里。方一百里國一百六十四。一國一萬里,一百六十四國合一百六十四萬里。上法,一州二百一十國,計地五百五十九萬里。以減一州之地大數六百萬里,餘四十一萬里,為附庸閒田。

按《周禮》據千里為法,則公國四,侯國六,伯國十一,子國二十五,男國一百六十四。合二百一十國者,非周之數矣。據地方一千里為地一百萬里。五國合為地五百萬里。方百里者五十九。方百里為地一萬里。五十九國合為地五十九萬里。上二法,計得地五百五十九萬里。容前二百一十國,餘方百里者四十一。方百里為地一萬里;百里之國四十一,為地四十一萬里。上據地以下三法,合地六百萬里。一州之大數。

“古者以周尺八尺為步,今以周尺六尺四寸為步。古者百畝當今東田百四十六畝三十步。古者百里當今百二十一里六十步四尺二寸二分。”注云:“周尺之數,未之詳聞。按禮制,周猶以十寸為尺。蓋六國時多變亂法度。或言周尺八寸,則步更為八八六十四寸。以此計之,古者百畝當今百五十六畝二十五步。古者百里當今百二十五里也。”

甄鸞按:“古者以周尺八尺為步,今以周尺六尺四寸為步。古者一百畝當今東田一百四十六畝三十步。”計之法:置古步八尺,以八寸乘之為六十四寸。自相乘得四千九十六寸為古步法。又置今步六尺,以八寸乘之,內四寸,得五十二寸。自相乘得二千七百四寸為今步法。置田一百畝,以百步乘之得一萬步。以古步法乘之,得四千九十六萬寸為實。以今步法二千七百四寸除之,得一萬五千一百四十七步。不盡二千五百一十二寸,約之得一百六十九分步之一百五十七。以畝法一百步除積步,得一百五十一畝,餘四十七步及分。以經中東田一百四十六畝三十步減之,計賸五畝一十七步及分。此即經自不合。

求經云:“古者百里當今一百二十二十一里六十步四尺二寸二分”法:置百里,以三百步乘之,得三萬步。以古一步六十四寸乘之,得一百九十二萬寸。以今步法五十二寸除之,得三萬六千九百二十三步,餘四寸。以里法三百步除積步,得一百二十三里,不盡二十三步四寸。以經中一百二十一里六十步四尺二寸二分減之,計賸一里二百六十二步一尺三寸八分。亦經自不合。

求鄭氏注云:“古者百畝當今一百五十六畝二十五步。”依鄭計之法:置經中古者八十寸,今六十四寸相約。古步率得五,今步率得四。古步率五自乘得二十五為古步法;今步率四自乘得十六為今步法。置田一百畝為一萬步。以古步法二十五乘之得二十五萬。以今步法十六除之得一萬五千六百二十五步。以畝法一百步除之,得一百五十六畝,不盡二十五步。

求鄭注云:“古者百里當今一百二十五里”法:置一百里,以三百步乘之,得三萬步。以古步率五乘之,得一十五萬為實。以今步率四乘里法三百步,得一千二百為法。實如法而一,得一百二十五里。按經自不合;鄭注又不與經同。未詳所以。

卷下

《禮記》月令黃鍾律管法:

黃鍾術曰:置一算,以三九遍因之為法。置一算,以三因之得三,又三因之得九,又三因之得二十七,又三因之得八十一,又三因之得二百四十三,又三因之得七百二十九,又三因之得二千一百八十七,又三因之得六千五百六十一,又三因之得一萬九千六百八十三為法。即是黃鍾一寸之積分。重張其位於上,以三再因之,為黃鍾之實。以法除之,得黃鍾,十一月,管長九寸。

置黃鍾一寸積分一萬九千六百八十三。以三因之得五萬九千四十九。又置五萬九千四十九。以三因之得十七萬七千一百四十七,為黃鍾實。以寸法一萬九千六百八十三除實,得黃鍾之管長九寸。

黃鍾下生林鍾,六月,管長六寸。置黃鍾管長九寸。以二乘之得十八,以三除之得林鍾管長六寸。

林鍾上生太蔟,正月,管長八寸。置林鍾管長六寸。以四乘之,得二十四。以三除之,得太蔟管長八寸。

太蔟下生南呂,八月,管長五寸三分寸之一。置太蔟之管八寸。以二乘之得十六;以三除之,得南呂之管長五寸三分寸之一。

南呂上生姑洗,三月,管長七寸九分寸之一。置南呂管長五寸。以分母三乘之,內子一得十六。以四乘之,得六十四。以三乘法三得九為法以除之,得姑洗之管長七寸九分寸之一。

姑洗下生應鍾,十月,管長四寸二十七分寸之二十。置姑洗管長七寸。以分母九乘之,內子一得六十四。以二乘之得一百二十八。以分母九乘法三得二十七為法以除之,得應鍾之管長四寸二十七分寸之二十。

應鍾上生蕤賓,五月,管長六寸八十一分寸之二十六。置應鍾管長四寸。以分母二十七乘之,內子二十得一百二十八。以四乘之,得五百一十二。以分母二十七乘法三得八十一為法。除之得蕤賓管長六寸八十一分寸之二十 六。

蕤賓上生大呂,十二月,管長八寸二百四十三分寸之一百四。置蕤賓管長六寸。以分母八十一乘之,內子二十六得五百一十二。以四乘之得二千四十八為實。以分母八十一乘法三得二百四十三為法。除之得大呂之管長八寸二百四十三分寸之一百四。

大呂下生夷則,七月,管長五寸七百二十九分寸之四百五十一。置大呂管長八寸。以分母二百四十三乘之,內子一百四得二千四十八。以二乘之,得四千九十六為實。以分母二百四十三乘法三得七百二十九為法。除之得夷則管長五寸七百二十九分寸之四百五十一。

夷則上生夾鍾,二月,管長七寸二千一百八十七分寸之一千七十五。置夷則管長五寸。以分母七百二十九乘之,內子四百五十一得四千九十六。以四乘之得一萬六千三百八十四為實。以分母七百二十九乘法三得二千一百八十七為法。除之得夾鍾管長七寸二千一百八十七分寸之一千七十五。

夾鍾下生無射,九月,管長四寸六千五百六十一分寸之六千五百二十四。置夾鍾管長七寸。以分母二千一百八十七乘之,內子一千七十五得一萬六千三百八十四。以二乘之,得三萬二千七百六十八為實。以分母二千一百八十七乘法三得六千五百六十一為法。除之得無射管長四寸六千五百六十一分寸之六千五百二十四。

無射上生中呂,四月,管長六寸一萬九千六百八十三分寸之一萬二千九百七十四。置無射管長四寸。以分母六千五百六十一乘之,內子六千五百二十四得三萬二千七百六十八。以四乘之得十三萬一千七十二為實。以分母六千五百六十一乘法三得一萬九千六百八十三為法。除之得中呂之管長六寸一萬九千六百八十三分寸之一萬二千九百七十四。

《禮記》禮運注始於黃鍾終於南呂法:

“五行之動迭相竭。五行、四時、十二月還相為本。五聲、六律、十二管還相為宮。五味六和、十二食還相為滑。五色、六章、十二衣還相為質。”注云:“竭猶負載也。言五行運轉,更相為始。五聲宮、商、角、徵、羽。其管陽曰律;陰曰呂。布在十二辰,始於黃鍾九寸。下生者三分去一;上生者三分益一,終於南呂。更相為宮,凡六十律。”

甄鸞按:五聲、六律、十二管還相為宮,終於南呂:黃鍾為宮,林鍾為徵,太蔟為商,南呂為羽,姑洗為角;林鍾為宮,太蔟為徵,南呂為商,姑洗為羽,應鍾為角;太蔟為宮,南呂為徵,姑洗為商,應鍾為羽,蕤賓為角;南呂為宮,姑洗為徵,應鍾為商,蕤賓為羽,大呂為角;姑洗為宮,應鍾為徵,蕤賓為商,大呂為羽,夷則為角;應鍾為宮,蕤賓為徵,大呂為商,夷則為羽,夾鍾為角;蕤賓為宮,大呂為徵,夷則為商,夾鍾為羽,無射為角;大呂為宮,夷則為徵,夾鍾為商,無射為羽,中呂為角;夷則為宮,夾鍾為徵,無射為商,中呂為羽,黃鍾為角;夾鍾為宮,無射為徵,中呂為商,黃鍾為羽,林鍾為角;無射為宮,中呂為徵,黃鍾為商,林鍾為羽,太蔟為角;中呂為宮,黃鍾為徵,林鍾為商,太蔟為羽,南呂為角。

甄鸞按:《禮記》注一本乃有云:“始於黃鍾,終於南事”者,更顯之於後。

禮運一本注“始於黃鍾,終於南事”法:

甄鸞按:司馬彪律曆志:

黃鍾下生林鍾,林鍾上生太蔟,太蔟下生南呂,南呂上生姑洗,姑洗下生應鍾,應鍾上生蕤賓,蕤賓上生大呂,大呂下生夷則,夷則上生夾鍾,夾鍾下生無射,無射上生中呂,中呂上生執始,執始下生去滅,去滅上生時息,時息下生結躬,結躬上生變虞,變虞下生遲內,遲內上生盛變,盛變上生分否,分否下生解形,解形上生開時,開時下生閉掩,閉掩上生南中,南中上生丙盛,丙盛下生安度,安度上生屈齊,屈齊下生歸期,歸期上生路時,路時下生未育,未育上生離宮,離宮上生凌陰,離宮下生去南,去南上生族嘉,族嘉下生鄰齊,鄰齊上生內負,內負上生分動,分動下生歸嘉,歸嘉上生隨期,隨期下生未卯,未卯上生形始,形始下生遲時,遲時上生制時,制時上生少出,少出下生分積,分積上生爭南,爭南下生期保,期保上生物應,物應上生質末,質末下生否與,否與上生形晉,形晉下生夷汗,夷汗上生依行,依行上生色育,色育下生謙待,謙待上生未知,未知下生白呂,白呂上生南授,南授下生分烏,分烏上生南事,南事不生。

甄鸞按:司馬彪志序云:“漢興,北平侯張蒼首治律曆。孝武正樂,置協律之官。至元始中,博徵通知鍾律者,考其意義。劉歆典領條奏。前史班固取以為志。而元帝時,郎中京房之五聲之音,六律之數。上使太子太傅元成、諫議大夫章雜試問房於樂府。房對:受學故小黃令焦延壽。六十律相生之法:以上生下皆三生二;以下生上皆三生四。陽下生陰;陰上生陽。始於黃鍾;終於中呂,而十二律畢矣。夫十二律之變至於六十,猶八卦之變至於六十四也。宓羲作易,紀陽氣之初,以為律法建日冬至之聲。以黃鍾為宮,太蔟為商,姑洗為角,林鍾為徵,南呂為羽,應鍾為變宮,蕤賓為變徵。此聲氣之元,五音之正也。故各統一月,其餘以次運行。當月者各自為宮,而商徵以類從焉。禮運篇曰:“五聲、六律、十二管還相為宮。”此之謂也。以六十律分期之日:黃鍾自冬至始,及冬至而復。陰陽寒燠,風雨之占生焉。所以檢攝群音,考其高下;茍非革木之聲,則無不有所合。”

“竹聲不可以度調,故作準以定數。準之狀如瑟,長丈而十三絃;隱間九尺,以應黃鍾之律九寸。中央一絃下有畫分寸,以為六十律清濁之節。”

“律術曰:陽以圓為形,其性動。陰以方為節,其性靜。動者數三;靜者數二。以陽生陰倍之,以陰生陽四之;皆三而一。陽生陰曰下生;陰生陽曰上生。上生不得過黃鍾之濁;下生不得不及黃鍾之清。皆參天兩地、圓益方覆、六耦承奇之道也。黃鍾律呂之首,而生十二律者也。其相生也,三分而損益之。是故十二律之得十七萬七千一百四十七。是為黃鍾之實。”

如前置一算,以三九遍因之,得一萬九千六百八十三,為黃鍾一寸之積分;即為一寸之法。即以三再因之,得一十七萬七千一百四十七,為黃鍾之實。以寸法除之,得黃鍾之管長九寸。又以二乘而三約之,是謂下生林鍾之實。置黃鍾之實十七萬七千一百四十七。以二因之得三十五萬四千二百九十四。以三除之,得一十一萬八千九十八。為林鍾之實。以寸法一萬九千六百八十三除之,得林鍾之管長六寸。又以四乘而三約之,是謂上生太蔟之實。置林鍾之實十一萬八千九十八。以四因之,得四十七萬二千三百九十二;以三除之得十五萬七千四百六十四,為太蔟之實。以寸法一萬九千六百八十三除之,得太蔟之管長八寸。自餘諸管上下相生,皆倣此。

“推此上下以定六十律之實。以九三之數萬九千六百八十三為法。實如法於律為寸,於準為尺;於律為分,於準為寸。不盈者十之,所得為分;又不盈十之,所得為小分。以其餘正其強弱。”

子,黃鍾實十七萬七千一百四十七,律九寸。下生林鍾。

色育實十七萬六千七百七十六,律八寸九分(小分八,微強),下生謙待;執始實十七萬四千七百六十二,律八寸八分(小分七,太強),下生去滅;丙盛實十七萬二千四百一十,律八寸七分(小分六,微弱),下生安度;分動實十七萬八十九,律八寸六分(小分四,微強),下生歸嘉;質末實十六萬七千八百,律八寸五分(小分二,半強),下生否與。

丑,大呂實十六萬五千八百八十八,律八寸四分(小分三,弱),下生夷則;分否實十六萬三千六百五十四,律八寸三分(小分一,少強),下生解形;凌陰實十六萬一千四百五十二,律八寸二分(小分一,弱),下生去南;少出實十五萬九千二百八十,律八寸(小分九,強),下生分積。

寅,太蔟實十五萬七千四百六十四,律八寸,下生南呂;未知實十五萬七千一百三十四,律七寸九分(小分八,強),下生白呂;時息實十五萬五千三百四十四,律七寸八分(小分九,強),下生結躬;屈齊實十五萬三千二百五十四,律七寸七分(小分八,半強),下生歸期;隨期實十五萬一千一百九十一,律七寸六分(小分八,微強),下生未卯;形晉實十四萬九千一百五十六,律七寸五分(小分八,弱),下生夷汗。

卯,夾鍾實十四萬七千四百五十六,律七寸四分(小分九,微強),下生無射;開時實十四萬五千四百七十一,律七寸三分(小分九,微強),下生閉掩;族嘉實十四萬三千五百一十三,律七寸二分(小分九,微強),下生鄰齊;爭南實十四萬一千五百八十二,律七寸一分(小分九,強),下生期保。

辰,姑洗實十三萬九千九百六十八,律七寸一分(小分一,微強),下生應鐘;南授實十三萬九千六百七十六,律七寸(小分九,半強),下生分烏;變虞實十三萬八千八十四,律七寸(小分一,半強),下生遲內;路時實十三萬六千二百二十五,律六寸九分(小分二,微強),下生未育;形始實十三萬四千三百九十二,律六寸八分(小分三,弱),上生遲時;依行實十三萬二千五百八十三,律六寸七分(小分三,半強),上生色育。

巳,中呂實十三萬一千七十二,律六寸六分(小分六,微弱),上生執始;南中實十二萬九千三百八,律六寸五分(小分七,微弱),上生丙盛;內負實十二萬七千五百六十七,律六寸四分(小分八,微強),上生分動;物應實十二萬五千八百五十,律六寸三分(小分九,少強),上生大呂。

午,賓實十二萬四千四百一十六,律六寸三分(小分二,微強),上生大呂;南事實十二萬四千一百五十六,律六寸三分(小分一,弱),不生;盛變實十二萬二千七百四十一,律六寸二分(小分三,半強),上生分否;離宮實十二萬一千八十九,律六寸一分(小分五,微強),上生凌陰;制時實十一萬九千四百六十,律六寸(小分七,微弱),上生少出。

未,林鍾實十一萬八千九十八,律六寸,上生太蔟;謙待實十一萬七千八百五十一,律五寸九分(小分九,弱),上生未知;去滅實十一萬六千五百八,律五寸九分(小分二,微弱),上生時息;安度實十一萬四千九百四十,律五寸八分(小分四,微弱),上生屈齊;歸嘉實十一萬三千三百九十三,律五寸七分(小分六,微強),上生隨期;否與實十一萬一千八百六十七,律五寸六分(小分八,少強),上生形晉。

申,夷則實十一萬五百九十二,律五寸六分(小分二,弱),上生夾鐘;解形實十萬九千一百三,律五寸五分(小分四,強),上生開時;去南實十萬七千六百三十五,律五寸四分(小分六,太強),上生族嘉;分積實十萬六千一百八十六,律五寸三分(小分九,少強),上生爭南。

酉,南呂實十萬四千九百七十六,律五寸三分(小分三,強),上生姑洗;白呂實十萬四千七百五十七,律五寸三分(小分二,強),上生南授;結躬實十萬三千五百六十三,律五寸二分(小分六,微強),上生變虞;歸期實十萬二千一百六十九,律五寸一分(小分九,微強),上生路時;未卯實十萬七百九十四,律五寸一分(小分二,微強),上生形始;夷汗實九萬九千四百三十七,律五寸(小分五,微強),上生依行。

戍,無射實九萬八千三百四,律四寸九分(小分九,少強),上生中呂;閉掩實九萬六千九百八十一,律四寸九分(小分三,弱),上生南中;鄰齊實九萬五千六百七十五,律四寸八分(小分六,微強),上生內負;期保實九萬四千三百八十八,律四寸七分(小分九,半強),上生物應。

亥,應鍾實九萬三千三百一十二,律四寸七分(小分四,微強),上生蕤賓;分烏實九萬三千一百一十七,律四寸七分(小分三,微強),上生南事;遲內實九萬二千五十六,律四寸六分(小分八,弱),上生盛變;未育實九萬八百一十七,律四寸六分(小分一,少強),上生離宮;遲時實八萬九千五百九十五,律四寸五分(小分五,強),上生制時。

甄鸞按:剛柔殊節,清濁異倫。五音六律,理無相奪。隔八相生,又如合契。

按志序云:“上生不得過黃鍾之濁;下生不得不及黃鍾之清。”是則上生不得過九寸;下生不得減四寸五分。且依行者,辰上之管也,長六寸七分。上生色育。然則色育者,亥上之管也,長四寸四分,減黃鍾之清。其名仍就下生之名;其算變取上生之實。乃越亥就子,編於黃鐘之下,律長八寸九分。非直名與實乖,抑亦違例隔凡。志又云:“始於黃鍾,終於南事。”注云:“不生”;且南事,午上管也。計南事之律,次得上生八寸四分之管。便是上生不過黃鍾之濁。乃注云:“不生”,此乃苟欲充六十之數。其於義理,未之前聞。

《禮記》投壺法:

“壺頸脩七寸,腹脩五寸,口徑二寸半,容斗五升。”注云:“脩,長也。腹容斗五升,三分益一,則為二斗。得圓囷之象,積三百二十四寸。以腹修五寸約之,所得求其圓周。圓周二尺七寸有奇,是為腹徑九寸有餘。”

甄鸞按:斛法一尺六寸二分,上十之得一千六百二十寸為一斛。積寸下退一等,得一百六十二寸為一斗。積寸倍之,得三百二十四寸為二斗。積寸以腹脩五寸約之,得六十四寸八分。乃以十二乘之,得七百七十七寸六分。又以開方除之,得圓周二十七寸;餘四十八寸六分。倍二十七寸,得方法五十四。下法一從方法,得五十五。以三除二十七寸得九寸。又以三除不盡四十八寸六分,得十六寸二分。與法俱上十之,是為壺腹徑九寸五百五十分寸之一百六十二。母與子亦可俱半之,為二百七十五分寸之八十一。

推春秋魯僖公五年正月辛亥朔法:

經云:“僖公五年春王正月辛亥朔日南至。”南至,冬至也。冬至之日,南極至。故謂之日南至也。日中之時景最長。以景度之,知其南至。周官以土圭度日景,以求地中。夏至之日景尺有五寸。冬至之日,立八尺之木以為表。度而知之。“公既視朔,遂登觀台以望雲氣而書,禮也。凡分、至啟閉,必書雲物,為備故也。”

推積日法:

置積月一萬一千九百八十五。以周天分二萬七千七百五十九乘之,得三億三千二百六十九萬一千六百一十五,為朔積分。以日法九百四十除之,得三十五萬三千九百二十七為積日。不盡二百三十五為小餘。以六十除積日,得五千八百九十八,棄之。取不盡四十七為大餘。命以甲子算外,即正月辛亥朔。

求次月朔法:

置正月朔大、小餘,加朔大餘二十九、小餘四百九十九。若小餘滿日法九百四十,除之;從大餘一。滿六十除之。命以甲子算外,即次月朔。如是一加得一月朔。若小餘滿四百四十一以上,其月大,減者小也。

推僖公五年正月辛亥朔旦冬至法:

經云:“僖公五年春王正月辛亥朔日南至。”

求次氣法:

加大餘十五,小分二十一。小分滿氣法二十四,從小餘一。小餘滿四,從大餘一。大餘滿六十,去之。命以甲子算外,次氣日。如是一加得一氣。

推文公元年歲在乙未,閏在十月下,而失在三月法:

經云:“文公元年於是閏三月,非禮也。先王之正時也,屢端於始、舉正於中、歸餘於終。屢端於始,序則不愆;舉正於中,則民不惑;歸餘於終,則事不悖。”

推閏餘十三在何月法:

置章歲十九,以閏餘十三減之,不盡六。以歲中十二乘之,得七十二。以章閏七除之得十。命從正月起算外,閏十月下而盡。閏三月者,非也。

推文公六年,歲在庚子,是歲無閏而置閏法:

經云:“文公六年,閏月不告朔,猶朝於廟。”傳曰:“閏月不告朔,非禮也。閏以正時,時以作事。民生之道於是乎在矣。不告閏朔,棄時正也,何以為民?”

推襄公二十七年,歲在乙卯,再失閏法:

襄公二十七年,歲在乙卯,九月乙亥朔,是建申之月也。魯史書:“十二月乙亥朔,日有食之。”傳曰:“冬十一月乙亥朔,日有食之。於是辰在申,司歷過也。再失閏矣。”言時實以為十一月也。不察其建,不考之於天也。

推絳縣老人生經四百四十五甲子法:

襄公三十年,歲在戌午,二月癸未。注:“二月一日,丁卯朔。癸未十七日也。”“晉悼夫人食輿人之城杞者。絳縣人長矣,無子而往與於食。有與疑年,使之年曰:“臣小人也,不知紀年。臣之歲,正月甲子朔,四百有四十五甲子矣。其季於今三之一也。吏走問諸朝。師曠曰:“魯叔仲惠伯會卻成子於城匡之歲也,七十三年矣。”史趙曰:“亥有二首六身。下二如身,是其日數也。”士文伯曰:“然則二萬六千六百有六旬也。””

甄鸞按:“四百四十五甲子矣。其季於今三之一”者,計四百四十五甲子矣,有二萬六千七百日。其季三之一者,謂不滿四百有四十五甲子。於未滿一甲子六十日之中,三分取一。謂去四十日,止留二十日也。是以注云:“三分六甲之一得甲子、甲戌盡癸未。謂止有四百有四十四甲子,奇二十日,合二萬六千六百六十日。以應史趙“亥有二首六身”之數也。

術曰:置積日二萬六千六百六十日。以四乘之,得十萬六千六百四十日為實。又置周天三百六十五日四分日之一。以四乘之,內子一,得一千四百六十一為一歲之日法以除實,得七十二歲。一千四百四十八,少十三分不滿法。計四分為一日,更少三日,不終季年。算法,半法以上收成一,為七十三年。據多而言也。

推文公十一年,歲在乙巳。夏正月甲子朔。絳縣老人生月法:

襄公三十年,絳縣人曰:“臣小人,不知紀年。臣生之歲,正月甲子朔,四百四十五甲子矣。其季於今三之一也。”

推積日法:

置積月一萬二千四百六十七。以周天分二萬七千七百五十九乘之,得三億四千六百七萬一千四百五十三為朔積分。以日法九百四十除之,得三十六萬八千一百六十一為積日;不盡一百一十三為小餘。以六十除積日,不盡為大餘。命以甲子算外,乙丑。推次月朔法,如前僖公五年中術。

推積日法:

置積月一萬三千六百一十七。以周天分二萬七千七百五十九乘之,得三億七千七百九十九萬四千三百三為朔積分。以日法九百四十除之,得四十萬二千一百二十一為積日。不盡五百六十三為小餘。以六十除積日得六千七百二,棄之。不盡一為大餘。命以甲子算外,正月乙丑朔。

推算魯昭公十九年,閏在十二月之後,就以閏月為正月,而以正月為二月的算法:

推昭公十九年,歲在戊寅,閏在十二月下法:

推昭公十九年,歲在戊寅月朔法:

推昭公二十年,歲在己卯月朔法:

正月大,己丑朔。大餘二十五,小餘四百七十。二月小,己未朔。大餘五十五,小餘二十九。三月大,戊子朔。大餘二十四,小餘五百二十八。

推昭公二十年,歲在己卯,正月己丑朔,旦冬至;而失云二月己丑冬至法:

甄鸞按:周曆昭公十九年,歲在戊寅。其年閏十二月。其月大,己未朔。二十年,歲在己卯。正月大,己丑朔。即以己丑朔,旦為冬至。而昭公十九年,不置閏,乃以閏十二月為正月。故以為二月也。

推哀公十二年,歲在戊午。應置閏而不置,故書十二月有螽法:

經云:“哀公十二年,冬十有二月螽”。季孫問諸仲尼。仲尼曰:“丘聞之,火伏而後蟄者畢。今火猶西流,司曆過也。”

求十二年閏月法:

置章歲十九。以閏餘十四減之,不盡五。以歲中十二乘之,得六十。以章閏七除之,得八。命從正月起算外,即在八月下。

甄鸞按:周十二月,夏之十月也。哀公十二年,閏在夏八月下。當時實是夏之九月,而失以閏月為九月,以九月為十月。故書“冬十有二月螽”也。

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